Что такое Функция в Алгебре?
Понятие функции
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину 
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, функция у = 2х каждому действительному числу x ставит в соответствие число y, которое в два раза больше, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
- х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2.
Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
х | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
у = 3х +2 | -7 | -4 | -1 | 2 | 5 | 8 |
Рассмотрим другие типы соответствий между множествами.
Например, фрукты и цвет каждого:
У каждого фрукта есть свой цвет. Но такое соответствие нельзя назвать взаимно-однозначным. Например, яблоко может быть и красным, и желтым и даже зеленым.
Пример такого соответствия в математике — функция у = х2. Один и тот же элемент второго множества у = 4 соответствует двум разным элементам первого множества: х = 2 и х = -2.
Так на примере с фруктами можно показать соответствие, которое нельзя назвать функцией:
Видно, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Описать такое соответствие математически было бы сложнее.
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Способы задания функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — самый наглядный. На графике сразу видно возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Задать функцию формулой
Через аналитический способ задания функции можно сразу по конкретному значению аргумента «x» найти значение функции «y».
Пример. Дана функция: y(x) = 32x + 5.
Найти: значения функции «y» при x = 0.
Как рассуждаем:
Подставим в формулу вместо «x» число «0». Запишем расчет.
y(0) = 32 * 0 + 5 = 5
Ответ: y = 5.
Задать функцию таблицей
Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений «y» для произвольно выбранных значений «x».
Пример. Дана функция: y(x) = −x + 4.
Найти: значения «y» при x = -1, x = 0 и x = 1.
Как рассуждаем:
1. Подставим в функцию y(x) = −x + 4 вместо «x» первое число -1.
2. Продолжим подставлять в функцию y(x) = −x + 4 данные значения x (0 и 1).
y(0) = −0 + 4 = 4
y(1) = −1 + 4 = 3
Не путаем знаки!
Когда в функцию нужно подставить отрицательное число — включаем внимательность на максимум.
Возьмите нужное число в скобки, чтобы точно не потерять знак минус.
3. Запишем полученные результаты в таблицу:
x | y |
−1 | 5 |
0 | 4 |
1 | 3 |
Так мы получили табличный способ задания функции y(x) = −x + 4.
Задать функцию графиком
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
График функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числовые значения вместо «x».
Пример. Дана функция: y(x) = −2x + 1.
Найти: значения «y» для произвольных «x», а именно −1, 0, 1.
Как рассуждаем:
1. Подставим данные значения х в функцию и запишем результаты:
x | Рассчет |
−1 | y(−1) = −2 * (−1) + 1 = 2 + 1 = 3 |
0 | y(0) = −2 * 0 + 1 = 0 + 1 = 1 |
1 | y(1) = −2 * 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
2.
Дадим названия каждой точке и запишем их координаты:
Имя точки | x | y |
A | −1 | 3 |
B | 0 | 1 |
C | 1 | −1 |
3.
Отметим точки А (-1; 3), B (0; 1) и С (1; -1) на прямоугольной системе координат.
4. Соединим отмеченные точки прямой.
Проведенная прямая будет графиком функции y(x) = −2x + 1.
Правила игры в классическое «Домино»
Сейчас «Домино» перекочевало из дворов в квартиры и стало больше домашней игрой. И хоть в рейтинге развлечений оно немного сдало свои позиции, но увлекательность и простые правила помогают ему находить все новых и новых поклонников как среди детей, так и взрослых, ведь эта игра вне возраста!
ЦЕЛЬ
Суть «Домино» – выстроить цепочку из костяшек таким образом, чтобы они соприкасались друг с другом одинаковым количеством точек. Так, к двойке прикладываем двойку, к тройке – тройку и т.д.
В классическом наборе 28 фишек домино, их еще называют камнями или костями. Эти прямоугольники разделены на 2 части, на каждой отмечены точки от 0 до 6.
В партии могут принимать участие от двух до четырех человек.
Если играют вдвоем, то раздают по 7 костей, если втроем или вчетвером – по 5.
ПРАВИЛА И ХОД
Все игроки получают плашки. То, что осталось, откладывают в сторону – это общий «базар» или «котел». Отсюда участники будут брать кости в случае их нехватки для продолжения игры.
Первым ходит игрок, которому достался дубль, то есть костяшка с одинаковыми цифрами на обеих половинках.
Принято, что это сочетание 6-6 или любое другое из имеющихся у собравшихся. Если дубля нет ни у кого, ходят самой «дорогой» костью – с наибольшим числом очков. А вот с нуля раунд начинать нельзя.
К первой положенной дощечке участники начинают выкладывать свои по очереди.
Ставить можно и по вертикали, и по горизонтали, работает главное правило: камни должны соприкасаться равными сторонами. В случае если у игрока, чтобы продолжить ход, не оказывается подходящей фишки, он берет ее из «базара», вытягивая по одной, пока не попадется нужная.
При этом, чем чаще соперник ходит на «базар», тем дальше он от победы. В «Домино» не выгодно иметь много фишек. Ведь победителем становится тот, кто первым выложит на стол все свои костяшки и окажется с пустыми руками.
Но есть и другой вариант окончания игры – это «рыба». Так называется расклад костей, когда у игроков есть на руках фишки, но никто из них не может подобрать нужную половинку и продолжить цепочку.
Победа тогда определяется следующим образом: у всех участников подсчитывается набранная сумма очков – складываются между собой числа всех плашек. У кого оказалась наименьшая цифра, тот и побеждает.
Игра, как правило, длится несколько раундов – до того, как один из сидящих за столом наберет заранее определенное количество очков. Например, по договоренности можно вести счет до 100, 200 или 300. Если победитель выложил все камни, то ему присуждается сумма баллов, которые остались у его соперников.
При «рыбе» выигравший получает разность очков: из общей суммы вычитается набранное им самим число.
Опытные игроки в «Домино» утверждают, что проводить партию вдвоем гораздо сложнее, чем группой, потому что просчитать все варианты комбинаций, имеющихся у одного соперника практически нереально. А вот играя большим составом, можно дать волю своему логическому мышлению, вычисляя в уме все возможные виды расклада. Однако при любом варианте игры «Домино» прекрасно развивает внимательность и математические навыки.
10 основных материалов для увлекательных математических игр и занятий «сделай сам»
Технологии — это полезный инструмент для ученых, но ничто не может сравниться с силой практического обучения математике, укрепляющей мозг. Вы даже можете поощрять своих детей создавать свои собственные математические задания и математические игры, просто имея в их распоряжении несколько манипуляций с выбором. Развитие математических навыков — это не просто школьное упражнение.
Используйте эти удобные инструменты для математических игр дома!
(Примечание: этот пост содержит партнерские ссылки.)
Мой сын любит изобретать собственные математические задания и математические игры дома и после школы. Иногда он уговаривает меня присоединиться к нему. В других случаях он любит играть самостоятельно. Я заметил, что он имеет тенденцию использовать одни и те же инструменты из нашего шкафа для игр и занятий снова и снова, поэтому я хочу поделиться ими с вами в надежде, что ваши дети добьются такого же успеха!
Карандаш и большой блокнот
Давайте начнем с основ, не так ли? Запаситесь большим запасом карандашей, ластиков и большого блокнота бумаги. Мы используем так много бумаги, чтобы вести счет, решать уравнения, рисовать головоломки, набрасывать наброски настольных игр и т. д. Во многие математические игры можно играть, используя только ручку и бумагу. Некоторые из наших любимых включают в себя:
- Точки и прямоугольники
- Магические квадраты
Помимо обычной белой бумаги, мой сын любит использовать миллиметровую бумагу для своих математических игр.
Кубики
Кубики абсолютно необходимы. Ваши дети могут использовать их не только для решения основных математических уравнений, но и во многих простых математических играх, использующих кости. Каждому нужен красочный набор традиционных 6-гранных игральных костей, но я рекомендую инвестировать в специальные игральные кости для математических операций!
Ваши дети могут изобретать свои собственные математические игры в кости или играть в наши любимые игры:
- Свинья
- Последовательности
- Совместные математические игры в кости
Игральные кости также выпускаются в 10-, 12- и других многогранных вариантах для дополнительного удовольствия и обучения.
Покерные фишки
У нас есть точно такой же набор покерных фишек, и я даже не могу сосчитать, как мы их использовали! Мой сын использовал их для всех видов счетных игр. Кроме того, мой младший сын любит сортировать их, складывать и укладывать в шаблоны, что является отличным упражнением для развития математических навыков.
Две из наших любимых математических игр, в которых используются покерные фишки:
- Игра на вычитание
- Фивертон
Карточки с цифрами
Я так рада, что побаловала себя набором этих больших деревянных карточек с цифрами Монтессори. Они у нас были в течение нескольких лет, и они получили много использования. Мой сын в основном использует их самостоятельно и любит разбираться в них, а не создавать вокруг них настоящие игры.
Одно из любимых занятий моего сына с карточками с числами — это воссоздание больших чисел, которые он находит в книгах! Мне нравится, что карты прочные.
Доска для сотен
Математические материалы Монтессори включают прекрасную деревянную доску для сотен, но мы получили много пользы от простой ламинированной версии. Мой сын иногда использует его как игровую доску, но он также использует его для подсчета очков. С ламинированной версией ваши дети могут использовать маркер для сухого стирания и, таким образом, использовать доску снова и снова!
Золотые и цветные бусины Монтессори
Мне нравятся все материалы Монтессори по математике, хотя я признаюсь, что мы не используем их строго в соответствии с Монтессори.
У нас есть несколько Золотых Десяти Слитков, Золотая Бусина Тысячи Кубов и несколько Золотых Бусин Сотни Квадратов. У нас также есть подростковый набор цветных бусин.
Мой сын использует бусины для счета, а также в качестве игровых фигурок. Одна вещь, которую он делал в последнее время, — это бросание игральных костей, а затем подсчет числа с помощью цветных полосок бусинок.
Как вы можете видеть на этой ужасной фотографии, он даже использует десять полос для создания фигур! Теперь это заставляет ваш творческий ум работать.
Домино
Набор домино должен быть у каждого! В конце концов, один из лучших способов узнать причину и следствие — запустить игру в домино! Не ограничивайте себя игрой по правилам. Мой сын любит использовать домино для математических уравнений и действий. Иногда он использует их как строительные блоки. Даже сортировка костей домино развивает математические навыки и укрепляет понимание количества.
Колода карт
В некоторые дни колода карт — моя самая любимая вещь в мире.
Мой старший сын может целый час раскладывать пасьянсы, не скучая. Иногда он просто сортирует карты для развлечения ( я знаю, верно? ) и даже пытается построить карточный домик.
Некоторые из наших любимых математических карточных игр:
- Собери десять
- Десятки идут на рыбалку
- Гольф
Примечание: мы так любим хорошие карточные игры, что получаем сувенирную колоду из мест, которые посещаем. Очевидно, я получил эту колоду единорога, когда мы посетили радугу.
Монеты
Мои дети любят играть с монетами и манипулировать ими. Они снова и снова сортировали монеты, что отлично подходит для развития предварительных математических навыков, а также использовали их для обучения пропуску счета.
Однако из монет также можно получить отличные игровые жетоны и фишки.
Некоторые из наших любимых математических игр с жетонами или монетами:
- Математические крестики-нолики
- Лу-лу
- Чука Рума
Книги
И последнее, но не менее важное: книги!
Для вдохновения мы использовали несколько книг по математике и играм.
Иногда мой сын хочет играть в игры по правилам, иногда он хочет придумать свои собственные правила. Любой способ действителен! Вот наши любимые книги:
- Математические игры
- Математические игры и занятия со всего мира
- Детская книга математических головоломок «Все для детей»: головоломки, игры и занятия для часов веселья
Математические поделки и занятия для детей своими руками
Математика — предмет, который ненавидят большинство учеников. Но учить математику очень необходимо, так как это основа нашего высшего образования. Без математики мы ничего не можем выучить в числовой форме. Так что это очень важная тема. Иногда учителям трудно учить детей математике, потому что детям это кажется скучным предметом.
Но, как всегда, мы приготовили несколько замечательных математических самоделок, которые сделают процесс обучения веселым и интересным. Эти DIY помогут учителям разными способами обучать числам, сложению и вычитанию, то есть основам математики.
Это также интересно повысит творческий потенциал учащихся и математику. Итак, здесь мы представляем эти мероприятия.
Подробнее: Математические игры и занятия для детей
1. Стаканы с цифрами и соломинки
Это какие-то очки, сделанные из картона, на них есть номер. На каждом стакане есть соломинка, на которой нанесены разноцветные точки в соответствии с количеством стеклянных соломинок, на соломинке номер 1 1 точка, на соломинке номер 2 2 точки и т. д. Такие виды творчества лучше всего подходят для детей дошкольного возраста, как они могут выучить числа и считать через эти стаканы и соломинки.
2. Цифры
Это занятие выглядит очень хорошо и познавательно для детей. Это цветочные горшки, на которых есть номер. В этих горшочках лежат разные миниатюрные штучки вроде бабочки, солнышка, цветов, количество которых равно написанным на нем числам. Так что, если дети считают эти миниатюры, они могут легко научиться считать и считать.
3. Ручная диаграмма
Так как руки — лучший способ выучить математику. Итак, здесь мы делаем диаграмму, показывающую, как мы можем использовать наши руки, чтобы научиться считать. Такие арты очень помогут малышам в обучении. Всегда мотивируйте детей заниматься такими видами деятельности, чтобы расширить свои знания.
4. Дополнительная копилка
Это копилка, которая поможет нам делать сложения. На его вершине два стакана. Теперь положите 2 монеты в первый стакан и 1 монету во второй стакан. Теперь эти монеты соберутся, наконец, и мы должны подсчитать общее количество монет, и мы получим результат нашего сложения. Такое инновационное искусство повышает любопытство детей, чтобы узнать больше.
5. Подходящие яблоки
Это самое увлекательное занятие, которое любят все – это сопоставление. Таким образом, сопоставление чисел с семенами яблока того же количества, что и заданное число, увеличит их скорость обучения.
Такие занятия очень просты в исполнении, но очень эффективно действуют на детей.
Подробнее: Развивающие занятия для детей
6. Петля для прищепки
Мы можем поиграть с детьми в числовой цикл. В цикле напишите несколько сумм для вычислений, т.е. сложения или вычитания. Затем попросите детей решить сумму, найти ее прищепку и надеть ее на петлю соответствующей суммы в течение установленного времени. Это поможет детям увеличить скорость решения сумм.
7. Дополнения к 10
Теперь такие арты помогут детям узнать о дополнениях числа, как показано на картинке выше. Например, от 0 до 10, от 1 до 9 и т. д. Это сделает их обучение эффективным и быстрым. Мы всегда должны поощрять детей к такой деятельности.
8. Обучение на руках
Руки — лучший способ научиться считать. Так как мы можем использовать любой объект для изучения математики, но не обязательно, чтобы он был доступен каждый раз.
Но руки доступны все время точно. Таким образом, это основной и лучший метод обучения математике с помощью пальцев, как показано на рисунке выше. Эти творческие занятия и идеи очень помогут детям легко выучить математику.
9. Таблица палочек для мороженого
Это забавный трюк, облегчающий изучение чисел. Поскольку все любят мороженое, нарисуйте диаграмму мороженого. На схеме сделайте 10 карманов и назначьте им любое количество, затем попросите детей положить палочки от мороженого в количестве, указанном на кармане, что поможет им в счете.
10. Игра в кости
Все любят играть в кости. Итак, здесь мы представляем забавную гонку в кости, которая также довольно познавательна. Ребенок бросает кости и получает число. Тогда он встанет после выхода из ящиков соответствующего номера. Тот, кто доберется первым в конце, станет победителем. Это делает математику настоящим развлечением.
Подробнее: 15 Снова в школу Поделки и занятия с яблоками
11.
Таблица чисел существСнова числовой график, но он немного отличается от всех остальных. Существо держит в своих дьявольских руках диаграмму с числом на ней. Они могут расклеить эту диаграмму в своих комнатах и классах, она будет хорошо смотреться на стене. И если дети будут видеть их регулярно, то это поможет им легко запомнить число.
12. Номер поезда
Так как дети очень любят паровозики и мультики. Поэтому, чтобы сделать обучение немного проще и увлекательнее, мы можем использовать мультфильмы в своей деятельности. Итак, вот поезд и его тележки с номерами. Количество шаржей равно количеству, написанному на тележке. Это поможет им выучить счет и числа. Такие арты просты в изготовлении и выглядят очень привлекательно.
13. Изучайте сложение с удовольствием
Немного сложно учить сложению или вычитанию, но здесь мы представляем занятие, которое может облегчить детям задачу. Сложение означает добавление или соединение чисел вместе, чтобы получить их общий результат.