Изонить схема с цифрами для начинающих: Изонить схемы для начинающих, картинки с цифрами, точками, нитяная графика и техника вышивки п…

схемы для начинающих, описание техники и рекомендации

Техника вышивки «нитяная графика» или изонить заключается в составлении узоров из нитей на какой-либо твердой поверхности. Этот увлекательный вид рукоделия известен с древних времен, а материалы для работы обычно легко найти в каждом доме.

Необходимые материалы для вышивки по картону

Для того чтобы начать вышивать в технике изонить, нужно подготовить:

• плотную бумагу или картон;
• ножницы;
• иголку;
• игольницу;
• булавку;
• скрепки;
• поролон;
• скотч;
• обычные швейные нитки или мулине.

Картон выбирают в зависимости от размера рисунка. Вышивают картины в технике нитяной графики по проколотым точкам, для этого нам и понадобится булавка. Также для работы понадобится специальная схема для изонити. Часто они бывают с цифрами, которые указывают последовательность ведения нити. Если указаний нет, вышивать можно с любой точки.

Простые упражнения для начинающих

Новичкам лучше всего начать с небольшого упражнения: на лист поролона положить небольшой кусочек картона, взять булавку и в произвольном порядке проколоть 6 точек. Если провести рукой по сторонам картона, то на лицевой стороне он будет гладким, а на изнанке окажутся бугорки. В основе всех схем для изонити лежит линия. С ее вышивки и начинается обучение. Соединим две точки нитью, чтобы узнать, как выглядит процесс. На небольшом листе бумаги рисуем две точки и соединяем их линией. Затем прикладываем рисунок к лицевой стороне картона и фиксируем его скрепками. Кладем заготовку на поролон и прокалываем булавками две точки. Теперь можно убрать скрепки и приступить к вышивке. Берем иголку, вставляем в нее нить в одно сложение и выводим ее из точки с изнаночной стороны. Для хранения иголки, если нет игольницы, можно использовать кусочек поролона. Нить закрепляем скотчем. Некоторые рукодельницы используют для этой цели обычный узелок, но он может проскочить через отверстие и испортить всю работу. С лицевой стороны выводим нить с иглой на изнанку, закрепляем скотчем и отрезаем нить. Для того чтобы рисунок на лицевой стороне не провисал, подтягиваем нить.

Основы вышивки нитью: рисуем гриб

Теперь создадим самостоятельно схему по изонити для начинающих — «Гриб». Она будет состоять из горизонтальных линий. Рисуем на бумаге заготовку при помощи линейки, цифры не расставляем – эту работу можно начинать выполнять с любой точки. Закрепляем схему для изонити на картоне и делаем отверстия в нужных местах описанным выше способом. Линии на схеме подскажут, какие точки соединять. Вышивать будем сверху вниз:

1. Выводим нить с изнаночной стороны на лицевую и закрепляем ее скотчем.
2. Протягиваем первую параллельную линию.
3. На изнанке вводим иголку в соседнюю точку, рядом с той, откуда вышла игла.
4. Проводим линию на лицевой стороне в обратную сторону.
5. Продолжаем вышивку, пока не доберемся до нижней части рисунка.

Если длины нити не хватает, закрепляем ее скотчем, вводим новую нить в соседнюю точку, также фиксируем и продолжаем вышивку. В конце закрепляем нить и любуемся своей работой.

Как заполнять окружность: прерывистая линия

Мы познакомились с техникой вышивки прямых по схеме изонити для начинающих, теперь усложним задачу и изучим способы заполнения нитями окружности. Готовим все те же инструменты и материалы, а также создаем для себя бумажную заготовку с дырочками, идущими по кругу. Рисунок с окружностью прикладываем к лицевой стороне картона, закрепляем и наносим булавкой отверстия. Затем убираем скрепки, бумагу и приступаем к вышивке. Вдеваем нитку и проводим ее через любую точку на окружности. Закрепляем нить скотчем на изнанке там, где нет проколотых точек. Иголку выводим через соседнюю точку с лицевой стороны на изнанку и продолжаем закладывать стежки, двигаясь по кругу. В конце работы закрепляем нить скотчем. Теперь мы знаем первый способ вышивки окружности по схеме для изонити.

Заполнение окружности сплошной линией и через центр

Познакомимся с вариантом вышивки окружности сплошной линией. Будем заполнять схему изонити поэтапно. Сначала вышиваем прерывистую линию тем же способом, что в предыдущем задании. Затем начинаем двигаться в обратном направлении, двигаясь между вышитыми линиями. Для заполнения окружности через центр берем новую схему, создаем круг из дырочек и делаем дополнительное отверстие в центре. Выводим иголку из любой точки на окружности в центральную и таким образом вышиваем весь рисунок полностью. Теперь, освоив основные приемы, потренируемся на рисунке нужной формы. Переносим его на картон и вначале вышиваем по контуру прерывистой линией. Для этой цели можно использовать изображение фрукта округлой формы или выбрать любую другую удобную схему для изонити для начинающих с цифрами. Далее начинаем вышивать из центра, создавая лучистую структуру рисунка. Техники необязательно комбинировать, достаточно использовать какую-то одну, чтобы обозначить форму фрукта.

Алгоритм заполнения окружности в технике изонить

Теперь мы научимся заполнять окружность пересекающимися линиями, от длины которых зависит рисунок. Раньше мы использовали соседние точки для создания контура. Узнаем, какой алгоритм использовать для работы с пересечениями. Применять его можно будет для окружностей с любым количеством точек. Для тренировки создадим рисунок из 12 точек, расположенных по кругу на равных расстояниях. Такая заготовка позволяет вышивать линию, пропуская от одной до пяти точек между двумя другими. Схемы для изонити для начинающих с цифрами часто построены именно по этому принципу.

Основной алгоритм работы заполнения окружности:

1. Длинный шаг вперед, линия вниз по часовой стрелке с пропуском одной точки.
2. Маленький шаг вперед в соседнюю точку на изнанке работы.
3. Длинный шаг назад, линия вверх против часовой стрелки с пропуском одной точки, через которую выходит предыдущая линия.
4. Маленький шаг вперед в соседнюю точку на изнаночной стороне.
5. Повторяем все шаги, двигаясь по окружности. На изнанке должна получиться сплошная линия.

Вышивка по кругу с пропуском двух точек

Окружность позволяет пропустить также две точки. Рассмотрим этот вариант построения рисунка:

1. Делаем длинный шаг вперед по часовой стрелке и маленький с изнанки.
2. Выводим нить на лицевую сторону и продеваем иглу через точку рядом с выходом первого отрезка.
3. Снова делаем маленький шаг назад на изнанке и выводим нить на лицевую сторону.
4. Проводим нить через следующую свободную точку и продолжаем выполнять шаги, пока не выполним рисунок с острыми углами. На изнанке должна получиться прерывистая линия с наложением стежков друг на друга.

Вышивка по кругу с пропуском трех, четырех и пяти точек

На следующем этапе берем ту же схему для изонити с цифрами, поэтапно выполняем следующие шаги и рисуем нитью новую фигуру. Теперь отрезки будут длиннее. Повторяем длинные и маленькие шаги, продевая нити сначала через две точки, пропуская между ними три, а затем двигаемся вниз, заполняя окружность в виде звездочки. На изнанке вновь получится сплошная линия. При пропуске четырех точек получим на лицевой стороне звезду с более острыми лучами и небольшим круглым центром, а на изнаночной – прерывистую линию с наложением стежков друг на друга. Последний этап – вышивка окружности с пропуском пяти точек. На лицевой стороне получится звезда с пересечением лучей в центре, а на изнанке – прерывистая линия.

Узор из заполненных окружностей

Теперь попробуем использовать полученные знания и создадим необычный и яркий геометрический рисунок нитями различных цветов. Чтобы не запутаться, для детей схемы для изонити с цифрами можно изготовить самостоятельно, пронумеровав шаги. Будем вышивать все пять окружностей на одном круге, накладывая их друг на друга. Берем нить голубого цвета и первой вышиваем окружность через пять точек, линии которой пересекутся в центре. Меняем нить на зеленую или другого понравившегося цвета и заполняем окружность через четыре отверстия, затем через три, через две и через одну точку. Каждый раз цвет ниток меняется. В итоге получится очень красивая композиция, напоминающая мандалу. Такой рисунок нитью можно оформить как открытку и подарить близким людям в качестве талисмана удачи.

Альтернативный вариант заполнения окружности

Существует еще один способ заполнения окружности, который помогает создавать необычный узор с плавным краем. Для работы нужно приготовить схему окружности из 60 точек, разметить ее, поделив круг на четверти, и перенести рисунок на картон.

1. Выводим иголку с ниткой в точку на вершине круга и ведем иголку вправо, вкалывая ее через одну точку.
2. Снова выводим нить через одну точку с изнанки и возвращаемся к самой первой точке и выводим через соседнее с ней отверстие.
3. Затем выводим нить через следующую дырочку по часовой стрелке.
4. Снова рисуем линию через одну точку и возвращаемся к оставшейся незаполненной дырочке.

В этом состоит новый алгоритм заполнения окружности. Каждый раз длина отрезка будет увеличиваться, создавая интересный орнамент. Заполняем так половину окружности. Вторую часть начинаем вышивать нитью другого цвета, повторяя все шаги сначала. Третью часть начинаем вышивать с середины первой, а четвертую – с середины второй. Используем каждый раз новую нить.

Узор «Веер»

Упражнение «Веер» поможет научиться создавать более сложные узоры и картины в технике изонить. Сначала делаем заготовку – треугольную фигуру в виде горы. Вершина ее будет одной точкой, а в основании – пять дырочек на одной линии. Переносим рисунок на картон и приступаем к вышивке. Иголку выводим в первой точке основания, закрепляем нить и начинаем соединять все отверстия в нижней части с вершиной. Узор «веер» готов. Его можно использовать для построения сложных фигур.

Узор «Бантик»

Еще один важный узор – «Бантик». Для упражнения удобно использовать схемы для изонити для детей в виде снежинок с цифрами. Переносим узор на картон и приступаем к вышивке. Внимательно смотрим на схему узора и выбираем первую точку, из которой будем выводить нить. Обычно обозначение лицевой и изнаночной стороны отличаются по цвету. Например, красные обозначают вывод нити с изнаночной стороны на лицевую, а синие – наоборот. Но схема может оказаться черно-белой, потому внимательно проследите за ходом стежков, чтобы не ошибиться. Находим цифру 1 и выводим через нее нить. Тянем линию к цифре два. Далее делаем маленький стежок на изнанке, спускаясь к отверстию ниже, выводим на лицевую и протягиваем, пересекая первую и поднимаясь к отверстию выше того, из которого вышла первая линия. Затем по изнанке поднимаемся на маленький шаг и продолжаем вышивать, перекрещивая линии. Для того чтобы получилась снежинка, вышиваем несколько бантиков по кругу.

Золотая рыбка: схема для изонити

Нитяная графика – вид творчества, который очень прост и доступен не только взрослым, но и детям. Создавая интересные панно из доступных материалов при помощи иглы, дети развивают мелкую моторику, раскрывают свой творческий потенциал и учатся усидчивости. Для того чтобы увлечь ребенка этим занятием, достаточно выбрать интересную картинку-схему изонити с цифрами, которые помогут двигаться в правильном направлении и последовательно выполнять нужные стежки. Такой картинкой может стать изображение золотой рыбки – популярной героини сказок, исполняющей желания.

Берем рисунок с точками, прикладываем его к картонке и, закрепив, переносим схему. Вышивку начинаем с глаза рыбки. Выводим иглу через любую точку на лицевую сторону и закрепляем нить скотчем. Заполняем окружность через центральную точку. Для того чтобы вышить голову, начинаем двигаться от центральной точки на носу веером, соединяя ее с дырочками на противоположной стороне. Для тела используем технику «Бантик», пересекая нити друг с другом. Хвост также вышиваем веером.

Как создать схему самостоятельно

Существует еще множество узоров и приемов, позволяющих создавать необычные полотна из ниток. Схемы для изонити для начинающих с цифрами, поэтапно воспроизводящие нужные шаги для выполнения рисунка, в большом количестве можно придумывать самостоятельно, просто нанося точки на бумагу в нужном порядке. Существуют специальные программы, помогающие в разработке узоров. Они выверяют расстояния автоматически и позволяют получить ровные промежутки между точками, без использования линейки и сложных подсчетов. Техника изонити – несложный и быстрый способ создать открытку или панно в подарок своими руками.

Уроки и схемы для создания простых картин в технике изонить

Содержание

• Материалы для вышивания в технике изонить
• Основные приемы вышивания изонитью
  • Заполнение угла
  • Заполнение окружности
  • Дуги и спирали
• Котенок
  • Процесс изготовления
• Весенние одуванчики
  • Процесс изготовления
• Тоновая нитяная графика
• Схемы для начинающих

Картины в
, необычайно красивы и изящны. С первого взгляда может показаться, что плотная бумага – очень сложный материал. Понятно, что каждое рукоделие требует навыков. Создать сразу сложный замысловатый рисунок по фото вряд ли получится. Но стоит только научиться двум основным методам: заполнению угла и круга, как рукоделие сразу станет легким и понятным. Те же, кто уже имеет опыт в данном рукоделии, без труда создают самые замысловатые узоры и композиции.

Изонить схемы изображаются достаточно просто. Такой вышивкой можно создать практически любой рисунок. Достаточно нарисовать контур и сделать по нему отверстия. Далее подробно рассмотрим мастер класс, как производить такую работу.

Материалы для вышивания в технике изонить

Материалы и инструменты для нитяной графики есть в каждом доме. Поэтому даже для начинающих мастеров не составит труда подобрать все необходимое.

Карандаш. В принципе для работы цвет и твердость этого предмета не имеет значения. Главное, чтобы он был хорошо заточен. Тогда карандаш будет оставлять четкую тонкую линию;

Линейка. Ее лучше выбирать в зависимости от величины изображения изонити. Для детей, которые впервые берутся за подобную работу, достаточная длинна 15 20 сантиметров. Для тех, кто решил сделать картину большого размера необходимо брать линейку не менее 30 сантиметров;

Циркуль. Такой инструмент потребуется, если по схеме необходимо рисовать окружность;

Шило или булавка. Мастер класс вышивки в технике изонить подразумевает обязательное применение таких вещей. Использование этих инструментов зависит от плотности материала. Если это толстый картон, то лучше выбрать шило. Для тонкой бумаги хорошо подойдет обычная швейная булавка;

Наперсток. Данным предметом редко пользуются мастера. Но для детей он необходим. Наперсток защитит пальчик от уколов иглой;

Игла. Выбор этой вещи обусловливается толщиной используемых ниток. Для шелковых – хорошим вариантом станет тонкая иголка, для толстых шерстяных нитей и иглу потребуется брать соответствующую;

Ножницы. Главным требованием к этому предмету является острота лезвий. Хорошо наточенные полотна не будут портить нитку;

Подложка. Для того чтобы не повредить поверхность во время работы необходим материал, который будет размещаться под шаблоны. Это может быть какое-нибудь плотное изделие, например, кусок линолеума или коврик для компьютерной мышки.

Основные приемы вышивания изонитью

Любые схемы нитяной графики имеют схожие методы заполнения элементов. Рассмотрим основные способы.
Заполнение угла На куске плотной бумаги необходимо начертить угол. Величина и острота разницы не имеют. Каждую сторону чертежа изонити необходимо разделить на равные участки. Для этого при помощи линейки отмериваем промежутки в 5 миллиметров. Работу начинаем от вершины угла. Каждое расстояние отмечаем точкой и цифрой. В этих местах, используя подложку и шило, следует сделать дырочки. Зашивается угол, как показано на схеме. Начинается вышивка с изнанки.

Заполнение окружности На плотной бумаге при помощи циркуля рисуется круг. Его необходимо поделить на двенадцать одинаковых отрезков. Также отмечаем точки цифрами и делаем в этих местах проколы. Особенностью заполнения окружности является то, что чем меньше будет расстояние между проколами, тем красивее получится изображение. Главное, чтобы дырочек было четное количество.

Что касается длинны стежков изонити, то длинные прошивы заполняют элемент большее, нежели маленькие стежки. И соответственно центральное отверстие тоже будет меньшим. Окружность вышивается согласно схеме.
Дуги и спирали Вышивка этих элементов осуществляется тем же методом, что и для окружности. Но длинна стежков должна быть небольшой. Размер одного прошива должен быть меньше половины дуги. Ширина вышивки напрямую зависит от величины стежка. Чем он меньше, тем тоньше будет дуга.


Что касается особенностей вышивки спиральных фигур, то она производится все время только в одном направлении. Длина стежка этой изонити может быть только от 3 до 5 проколов. После того как разобрались с основными способами вышивки в технике нитяной графики, можно приступать непосредственно к изделию. Предлагаем небольшой мастер класс детской схемы.

Котенок

Эта несложно. Мастер класс такой работы вполне подойдет для первого творчества детей.
Для вышивки понадобится:

• черная плотная бумага;
• белые нитки мулине;
• тонкая белая бумага;
• карандаш;
• булавка;
• зажим;
• клей;
• игла.

Процесс изготовления На белой бумаге острым карандашом необходимо сделать контур кота. На фото показано, как выглядит такая схема.

Прикладываем лист к темному картону и закрепляем зажимами. Если использовать канцелярские скрепки, на готовом изделии останутся вмятины, которые не исчезнут. Поэтому лучше взять специальные зажимы для бумаги.
На контуре изображения через равные промежутки необходимо поставить точки с цифрами. В этих местах булавкой прокалываем дырочки. Перед тем, как начать делать отверстия подложите под заготовку толстый плотный материал. Он не позволит повредить рабочую поверхность. Нитку заправляем в иглу, но узелка не делаем.

Вышивку изонити следует начинать с изнаночной стороны. После того, как сделаете пару стежков, конец нитки следует закрепить на изнанке клеем.

Ушки и часть хвостика вышиваются методом заполнения угла. Все остальные элементы – способом заполнения окружности. Отдельно вырезаем из разноцветных материалов глазки, носик, усики и приклеиваем их кошечке. Вышивка готова!

Также можно провести с детьми мастер класс по вышивке в технике изонить одуванчиков. Это не сложно, справиться с ней может любой ребенок.

Весенние одуванчики

Данный мастер класс не требует особых навыков. Такое изображение отличный вариант изонить схемы для начинающих мастеров. Картина создается посредством самых простых стежков.

Для вышивки понадобится:

• картон;
• зеленая бумага;
• клей;
• игла;
• карандаш;
• шило;
• желтые и зеленые нитки.

Процесс изготовления На картон необходимо приклеить зеленую бумагу. На ней рисуется схема цветов. Через равные расстояния карандашом нужно отметить точки с цифрами. При помощи шила по контуру рисунка делаются дырочки. Вышивать начинаем с изнаночной стороны, закрепив хвостик нити при помощи клея.


Цветочек и бутон одуванчика, которые показаны на фото, вышиваются желтой ниткой, методом заполнения дуги треугольниками. Стебелек создается стежками зеленой нитки. Листочки делаются методом заполнения угла также нитями зеленого цвета. Готовая вышивка может быть оформлена в рамку или декорирована багетом.

Тоновая нитяная графика

Создание тоновой изонити считается самой высокой степенью мастерства. Но и она выполняется несложно. Главное, в таком искусстве правильно подобрать материалы и красиво гармонично разместить все элементы.
В природе все оттенки делятся на две группы: теплые и холодные. Зрительно теплые воспринимаются как выступающие вперед, холодные – отступающие назад. Используя такие хитрости, и создается неповторимая объемная вышивка.

Помимо этого оттенки делят на легкие и тяжелые. К тяжелым — относят темные, насыщенные, к легким – холодные, светлые. Если композиция вышита правильно, верхняя часть изображения будет «легче» нижней. Также необходимо следить за гармоничностью соединения цветовых оттенков и полотна. На фото такие картины обладают неповторимым художеством и оригинальностью.
Тоновая вышивка очень красива. Она отличается особой изысканностью и живописностью. Мастер класс таких работ основывается на правильном соотношении цветовых схем.
Техника изонить – идеальное занятие для детей любого возраста. Она несложна в исполнении, но очень увлекательна. Первые же занятия позволяют создавать привлекательные и художественные работы, что очень нравится юным рукодельницам. Помимо этого данный метод вышивания вырабатывает в ребенка внимание, тщательность, мелкую моторику. Изонить для начинающих мастеров, лучший способ приобщиться к такому рукоделию как вышивка.

Схемы для начинающих

Comments

comments

Математика | Бесплатный полнотекстовый | Число изоляции и число доминирования деревьев

1.

Введение

Начнем с введения основных обозначений. Пусть G=(VG,EG) — простой неориентированный конечный граф порядка n. Открытая окрестность вершины v∈VG, обозначаемая NG(v), есть множество соседей вершины v; таким образом, NG(v)={u∈VG,uv∈EG}. Замкнутой окрестностью v называется множество NG[v]=NG(v)∪{v}. Степень вершины v∈VG, обозначаемая через dG(v), есть число соседей вершины v, так что dG(v)=|NG(v)|. Лист в графе G — это вершина степени 1 в G, а опорная вершина — вершина, смежная с листом. Вершина сильной опоры смежна как минимум с двумя листьями.

Множество листьев G обозначается через Ω(G), а множество всех опорных вершин G обозначается через Supp(G). Подграф G, индуцированный S⊆VG, обозначается G[S], а подграф, полученный из G удалением всех вершин в S, и все ребра, инцидентные вершинам в S, обозначаются G−S. Будем говорить, что множество X⊆VG является двухупаковочным, если dG(u,v)>2 для любых двух вершин u,v∈X.

Подмножество S⊆VG называется доминирующим в G, если NG[S]=VG. Минимальная мощность доминирующего множества G является числом доминирования и обозначается γ(G). Доминирующее множество мощности γ(G) называется минимальным доминирующим множеством или γ(G)-множеством. Существует обширная литература по доминирующим множествам в графах. В частности, мы ссылаемся на книги Haynes et al. [1] и Йеро [2] за пересмотр теоретических, алгоритмических и прикладных аспектов доминирования в графах.

В [3,4] авторы вводят определение числа изоляции графа и рассматривают его границы в терминах порядка и степени. Для семейства графов F они называют множество вершин S F-изолирующим множеством, если граф, индуцированный множеством VG−NG[S], не содержит ни одного члена F в качестве подграфа. В частности, {K1}-изолирующие множества совпадают с обычными доминирующими множествами.

Вершины, не доминируемые {K2}-изолирующим множеством, образуют независимое множество. В дальнейшем мы будем использовать изолирующее множество вместо {K2}-изолирующего множества. Минимальная мощность изолирующего множества графа G обозначается ι(G) и называется числом изоляции графа G. Изолирующее множество мощности ι(G) называется минимальным изолирующим множеством или ι(G)-множеством. В [4] авторы доказали, что ι(G)≤n3 и оценка точна. В недавней статье [5] эта оценка была улучшена для внешнепланарных графов с учетом количества вершин степени 2.

Наша работа посвящена характеристике деревьев с учетом концепции изолирующего множества. Сначала мы исследуем связь между числами изоляции и доминирования для таких графов, а затем исследуем деревья, для которых достигается граница ι(G)=n3. Важным вкладом в эту работу является характеристика деревьев, для которых ι(G)=γ(G) (см. теорему 5). Мы также приводим различные эквивалентные условия того, что ι(G)=n3 (см. теорему 8), и показываем, что, в частности, такие деревья, что ι(G)=n3, подтверждают, что ι(G)=γ(G).

Используя теоретическое описание деревьев, получаем алгоритмы построения деревьев с условием ι(G)=γ(G) и ι(G)=n3. Мы покажем несколько примеров использования этих алгоритмов для создания специализированных сетей.

Работа организована следующим образом. В разделе 2 представлены теоретические результаты по характеристике деревьев, для которых число доминирования равно числу изоляции. В разделе 3 мы занимаемся изучением семейства деревьев T, таких что ι(T)=n3. Эти виды деревьев являются частным случаем деревьев с γ(T)=ι(T). В разделе 4 представлен алгоритм построения этого семейства деревьев для определения наиболее важных параметров, изучаемых в данной статье. Наконец, раздел 5 посвящен заключению.

2. Исследование деревьев с числом доминирования, равным числу изоляции

Мы начнем с определения точного значения числа изоляции для путей.

Мы можем охарактеризовать деревья T, для которых ι(T)=γ(T). Пусть F — семейство деревьев T, которое может быть получено из последовательности деревьев T1,…,Tj(j≥1) такой, что T1 — звезда K1,p(p≥2) и T=Ti; а если i≥1, Ti+1 можно получить из Ti добавлением звезды K1,r(r≥2) и ребра xy, где x — вершина на расстоянии два от листа Ti, а y — конец вершина звезды K1,r.

Следующее наблюдение дает непосредственные свойства деревьев, принадлежащих семейству F, а на рисунке 1 показан пример.

Как следствие приведенных выше наблюдений, мы имеем следующую характеристику деревьев, принадлежащих семейству F.

Имеем следующее следствие теоремы 2.

i(Т).

Доказательство.  

Предположим, что γ(T)=ι(T)=l. Пусть D — минимальное доминирующее множество T. Сначала проверим от противного, что

Если x∈Supp(T) и существует вершина x′∈NT(x)∩Supp(T), то S1=D−{x} является изолирующим множеством T. Если x∉Supp(T) и существуют s1≠s2 две различные опорные вершины такие, что s1,s2∈NT(x), то S2=(D−{s1,s2})∪{x} является изолирующим множеством T. В обоих случаях имеем противоречие с γ(T)=ι(T).

Теперь докажем индукцией по l, что

Если γ(T)=ι(T)=1, то T — звезда, и результат верен. Предположим, что уравнение (3) верно для деревьев T′ с γ(T′)=ι(T′) Пусть T — дерево с γ(T)=ι(T)=l, и пусть D — минимальное доминирующее множество, не содержащее листьев T. Пусть P=(v0,…,vm) — длиннейший путь T. Из Уравнение (1), имеем NT[v1]∩Supp(T)={v1}, а затем v2∉Supp(T). Проверим, что dT(v2)=2, от противного следующим образом. Если dT(v2)>

2, то |NT[v2]∩Supp(T)|≥2. Следовательно, {v2}∪(D−(NT[v2]∩Supp(T))) является изолирующим множеством T, и мы имеем противоречие. Тогда мы можем рассмотреть дерево T′=T−NT[v1] и γ(T′)=ι(T′)=|D−{v1}|=l−1. По индукции Supp(T′) является доминирующим множеством T′. Используя тот факт, что Supp(T)=Supp(T′)∪{v1}, мы заключаем, что VT=NT[Supp(T)], и уравнение (3) выполняется.

Теперь предположим, что каждый x∈VT равен |NT[x]∩Supp(T)|=1. По теореме 3 имеем T∈F.

Докажем индукцией по s=|Supp(T)| что Supp(T) является минимальным изолирующим множеством T и γ(T)=ι(T)=s. Если s=1, то T — звезда и γ(T)=ι(T)=1. Предположим, что результат верен для деревьев с опорными вершинами s′1 опорными вершинами.

Возьмем P=(v0,v1,…,vm) самый длинный путь в T и T′=T−N[v1]. Тогда T′ является деревом с Supp(T′)=Supp(T)−{v1} и |NT′[x]∩Supp(T′)|=1 для каждой вершины x∈VT′. По индукции Supp(T′) является минимальным изолирующим множеством T′ и s−1=γ(T′)=ι(T′). По наблюдению 1 Supp(T) является γ(T)-множеством. Теперь пусть W — минимальное изолирующее множество T. Следовательно, множество W∩T′ является изолирующим множеством T′. Из того факта, что v0,v1∈VT−NT[W∩T′], мы получаем, что W∩T′ не является изолирующим множеством T. Тогда

и мы заключаем, что ι(T)=s=γ(T). □

Следующая теорема, характеризующая деревья T равенством γ(T)=ι(T), является окончательным следствием приведенных выше результатов.

3. Экстремальные деревья

В этом разделе мы найдем экстремальные деревья, такие как ι(T)=n/3. Сначала приведем следующую теорему, доказанную в [4].

Охарактеризуем все деревья, для которых выполняется равенство. Мы также показываем, что эти деревья являются частными случаями графов из семейства F, для которых γ(G)=ι(G).

Из теоремы 1 получаем, что некоторые пути являются экстремальными деревьями.

Пусть R — семейство деревьев T, которое может быть получено из последовательности деревьев T1,…,Tj(j李1), таких, что T1 — путь P3 и T=Tj; а если i≥1, то Ti+1 можно получить из Ti добавлением пути P3 и ребра xy, где x — вершина, находящаяся на расстоянии два от слоя Ti, а y — слой присоединенного пути P3. Из построения имеем следующий результат.

На рис. 2 показан пример дерева из семейства R. Опорные вершины выделены черным цветом.

Следующие результаты показывают, что деревья, для которых выполняется равенство ι(T)=n3, являются в точности деревьями, принадлежащими семейству R.

Доказательство.  

Необходимое условие следует из леммы 1. Для доказательства достаточности используем индукцию по n. Покажем, что если T∉R, то ι(T)

Пусть P=(v0,…,vl) — самый длинный путь в дереве T с n>3 вершинами, выбранный таким образом, чтобы dT(v1) было как можно больше, и пусть D — ι(T) -множество T. Предположим сначала, что dT(v1)>2, и пусть T′=T−{v0}. Заметим, что dT(v1)>2 влечет T′∉R, поскольку v1∈Supp(T′). Если T′∉R, то по индукции ι(T′)

Пусть теперь dT(v1)=2 и предположим сначала dT(v2)>2. Если dT(v2,Ω(T))=2, то пусть T′=T−{v0,v1}. Заметим, что v2∈D и ι(T′)=ι(T). Если T′∉R, то по индукции ι(T′)

Пусть теперь dT(v2)=2 и рассмотрим T′=T−{v0,v1,v2}. Если T′∉R, то по индукции ι(T′)

Рассмотрим случай, когда T′∈R. Тогда по наблюдению 4, лемме 1 и теореме 5 имеем, что Supp(T′) является γ(T′)-множеством и l′=γ(T′)=n(T′)3=n−33. Поскольку Supp(T′) является доминирующим множеством T′, Supp(T)={v1}∪Supp(T′) является доминирующим множеством T, и тогда Supp(T) является минимальным доминирующим множеством T. Мы получаем γ(T)=1+γ(T′)=1+n(T′)3=n3. Поскольку (по нашему предположению) T∉R, по наблюдению 4 мы знаем, что либо T∉F, либо существует опорная вершина s∈Supp(T) с dT(s)≠2. Это последнее условие не выполняется, поскольку dT(v1)=2 и dT(s)=2 для любого s∈Supp(T′); таким образом, T∉F. По теореме 5 имеем ι(T)<γ(T), и, наконец, получаем ι(T)

Приведенные выше результаты можно резюмировать следующим образом.

4. Алгоритмы

Псевдокод в Алгоритме 1 показывает реализацию процедуры, описанной в разделе 2, для построения деревьев семейства F. Функция получает дерево T семейства F, звезду K, которая должна быть присоединена к дерево и множество C, состоящее из всех узлов T, находящихся на расстоянии 2 от любого листа. Эти узлы являются всеми возможными точками соединения звезды. Функция возвращает обновленное дерево, полученное в результате соединения листа l∈K с узлом v, выбранным из C, и обновленный набор C.

Algorithm 1 Build tree

1: function growtree(T,C,K)  2:     v← choose(C) 3: S ← Соседи (V) 4: , если Размер (S) = 1 Тогда ▹V — лист, S его поддержка 5: 99 Sl № . (S) листья(S) 6: Если Размер (SL) = 2 , то ▹S имеет два листья: V и W 7: C ← C- (SL -V) ▹ Удалите W C  8:          end if  9:      end if 10:     l←anyleaf(K)               ▹ l can be any leaf of K 11: T ← T∪K∪ {(v, L)} ▹ растут T, соединяя V∈T и L∈K 12: , если Размер (K) = 3 Затем . 13: C ← C∪ {L} 14: Else 15: C ← C∪ LiveS (K) 1997 1699989898 . если 17:      вернуть  T,C 18: end function

Процедура обновления C следующая: если K имеет более трех вершин (т. в C. Если вершина имеет три вершины (два листа), то в C добавляется только l. Кроме того, если выбранная вершина v была листом и у ее носителя ровно два листа (v и еще одна вершина w), w удаляется из множество C, потому что оно больше не будет находиться на расстоянии 2 от другого листа (v не будет листом после соединения).

Эта функция позволяет выполнять инкрементное построение дерева, используя выходные данные T и C в качестве входных данных для следующей итерации вместе с новым K, добавляемым к дереву. Для первой итерации T может быть звездой, а C — всеми ее листьями.

Можно использовать разные способы выбора вершины v из множества C. Например, рассмотрим три схемы соединения: (1) вершина с максимальной степенью, (2) вершина с минимальной степенью и (3) случайным образом выбранная вершина. На рис. 3 показан пример деревьев, полученных с помощью трех схем соединения при моделировании 50 звезд с пятью вершинами в каждой. Заметим, что вид дерева, полученного при выборе вершины с минимальной степенью (рис. 3б), аналогичен дереву для случайно выбранной вершины (рис. 3в).

Вычисление минимального доминирующего множества графа T является NP-трудной задачей [6]. Вычисление изолирующего множества может быть выполнено из доминирующего множества путем исследования связности графа, полученного при удалении набора вершин. Когда это делается таким образом, это также является NP-сложной задачей. Однако в разделе 2 мы определили, что опорное множество для дерева из семейства F является как минимальным доминирующим множеством, так и минимальным изолирующим множеством. Кроме того, когда граф строится с использованием Алгоритма 1, вспомогательное множество может быть построено инкрементно, добавляя поддержку звезды, присоединяемой к нему на каждой итерации.

Алгоритм 1 можно использовать для построения различных деревьев из семейства F. Для упрощения сравнения результатов приведем результаты, полученные для звезд с одинаковым числом вершин. На рис. 4 показано отношение |Supp(T)|/|T| когда дерево получается путем соединения двух звезд при варьировании количества вершин в каждой звезде от 3 до 50. Максимальное значение соответствует пути из трех вершин, то есть графу из семейства R. Это тот же результат получено в разделе 3.

Чтобы сравнить стратегии построения дерева, мы охарактеризовали каждое дерево с учетом степени и диаметра. Эти меры имеют большое значение во многих приложениях (см., например, [7, 8]): вершины с высокими степенями, как правило, играют центральную роль во многих графах и многими считаются центральными точками функциональности графа; с другой стороны, диаметр предоставляет информацию о стоимости, связанной с отправкой информации между вершинами графа. На рис. 5 сравниваются параметры графов для деревьев, построенных путем соединения от 2 до 30 звездочек с пятью вершинами. Размер опорного множества одинаков для всех стратегий, поскольку он равен количеству звездочек, используемых для построения дерева. Из результатов на рисунке 5, соответствующих степени, мы показываем значение, полученное путем усреднения степени всех вершин в дереве, минимальной степени и максимальной степени. Для всех стратегий средняя степень одинакова, но максимальное значение увеличивается с количеством звездочек для подхода, где выбирается вершина с максимальной степенью. Это разумный результат, потому что эта процедура создает централизованный граф, в котором для всех соединений выбирается только одна вершина. Для двух других подходов метод создает глобальную сеть. Наконец, в результатах на рисунке 5, соответствующих диаметру, мы видим, что первая стратегия дает дерево с коротким диаметром, в то время как в других стратегиях диаметр увеличивается с количеством звезд. Мы также наблюдаем, что результаты, полученные при выборе вершины с минимальной степенью (рис. 5b), аналогичны результатам, полученным при случайном выборе вершины (рис. 5c).

5. Выводы

Нами изучена характеристика деревьев с учетом связи между числом изоляции и числом доминирования. Мы нашли условия, гарантирующие равенство обоих чисел. Для таких деревьев минимальное доминирующее множество можно найти, вычислив поддерживающее множество. Мы также определили экстремальные деревья, для которых достигается максимальная оценка числа изоляции.

Вклад авторов

М.Л. и М.Дж.С.-С. разработал теорию; А.Д. и Ф.Дж.В.-А. разработали алгоритмы, выполнили моделирование и проанализировали результаты; М.Л. и М.Дж.С.-С. написал газету; М.Дж.С.-С. возглавить исследование. Все авторы прочитали и согласились с опубликованной версией рукописи.

Финансирование

CITIC, как исследовательский центр, аккредитованный Галисийской университетской системой, финансируется «Consellería de Cultura, Educación e Universidade of Xunta de Galicia», на 80% поддерживаемой за счет средств ERDF, Оперативной программы ERDF Galicia 2014-2020, а остальные 20% предоставлены «Secretaría Xeral de Universidades» (грант ED431G 2019/01). Это исследование также финансировалось Agencia Estatal de Investigación of Spain (PID2019-104958RB-C42 и TIN2017-85160-C2-1-R) и ERDF. фонды ЕС (AEI/FEDER, UE)

Заявление Институционального контрольного совета

Неприменимо.

Заявление об информированном согласии

Неприменимо.

Заявление о доступности данных

Код, представленный в статье, можно получить по запросу у соответствующего автора.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. Спонсоры не участвовали в разработке исследования; при сборе, анализе или интерпретации данных; в написании рукописи или в решении опубликовать результаты.

Ссылки

1. Haynes, T.W.; Хедетниеми, С.Т.; Слейтер, П. Дж. Основы доминирования в графах; Marcel Dekker: New York, NY, USA, 1998. [Google Scholar]
2. Distances and Domination in Graphs, 1-е изд.; Исмаэль Гонсалес Йеро: Кадис, Испания, 2020 г . ; Доступно в Интернете: https://www.mdpi.com/books/pdfdownload/book/3089 (по состоянию на 15 мая 2021 г.).
3. Хансберг, А.; Каро, Ю. Изоляция в графиках. Электрон. Примечания Дискретный. Мат. 2015 , 50, 465–470. [Академия Google] [CrossRef]
4. Каро Ю.; Хансберг А. Частичное доминирование — изолирующее число графа. Филомат 2017 , 31, 3925–3944. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
5. Токунага, С.-И.; Джиарасуксакун, Т .; Kaemawichanurat, P. Число изоляции максимальных внешнепланарных графов. Дискретный. заявл. Мат. 2019 , 267, 215–218. [Google Scholar] [CrossRef]
6. Гэри, М.Р.; Джонсон, Д.С. Компьютеры и неразрешимость. Руководство по теории NP-полноты; Фриманн: Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 19 лет.79. [Google Scholar]
7. Алзуби, К.М.; Ван, П.Дж.; Фридер, О. Распределенная эвристика для связанного доминирующего набора в беспроводных одноранговых сетях. IEEE J. Общ. сеть 2002 , 4, 22–29. [Google Scholar] [CrossRef]
8. Кайданович, Т.; Морц, М. Использование энтропии графов и вершин для сравнения эмпирических графов с теоретическими моделями графов. Энтропия 2016 , 18, 320. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]

Рис. 1. Пример дерева из семейства F. Черные точки соответствуют вершинам множества Supp(T).

Рисунок 1. Пример дерева из семейства F. Черные точки соответствуют вершинам множества Supp(T).

Рисунок 2. Пример дерева из семейства R. Опорные вершины выделены черным цветом.

Рисунок 2. Пример дерева из семейства R. Опорные вершины выделены черным цветом.

Рисунок 3. Пример деревьев, полученных при разных стратегиях выбора вершины для подключения новой звезды к дереву: ( a ) вершина с максимальной степенью, ( b ) вершина с минимальной степенью и ( c ) случайно выбранная вершина.

Рисунок 3. Пример деревьев, полученных с использованием разных стратегий выбора вершины для подключения новой звезды к дереву: ( a ) вершина с максимальной степенью, ( b ) вершина с минимальной степенью и ( c ) случайная выбранная вершина.

Рисунок 4. Значения |Supp(T)|/|T| для двух звезд и количество вершин в каждой звезде от 3 до 50.

Рисунок 4. Значения |Supp(T)|/|T| для двух звезд и числа вершин в каждой звезде от 3 до 50.

Рисунок 5. Степень (минимальное, среднее и максимальное значение) и диаметр, полученные с использованием различных стратегий выбора вершины для соединения новой звезды с деревом: ( a ) Вершина с максимальной степенью, ( b ) вершина с минимальной степенью , и ( c ) случайно выбранная вершина.

Рис. 5. Степень (минимальное, среднее и максимальное значение) и диаметр, полученные с использованием различных стратегий выбора вершины для соединения новой звезды с деревом: ( a ) Вершина с максимальной степенью, ( b ) вершина с минимальной степенью , и ( c ) случайно выбранная вершина.

Примечание издателя: MDPI остается нейтральным в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и ​​институциональной принадлежности.

© 2021 авторами. Лицензиат MDPI, Базель, Швейцария. Эта статья находится в открытом доступе и распространяется на условиях лицензии Creative Commons Attribution (CC BY) (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

Таблица действий при воздействии COVID-19

Таблица действий при воздействии COVID-19 Медицинские услуги Университета Юта

< Дополнительные ресурсы о коронавирусе

ВОЗ	ДЕЙСТВИЕ
Бессимптомное течение Тесный контакт (Без симптомов*, но имел тесный контакт** с кем-то, у кого положительный результат теста на COVID-19)	Надевайте на окружающих подходящую не тканевую маску на 10 дней. Пройти тестирование на 5-й день после воздействия (дата воздействия — 0-й день). Воспользуйтесь бесплатным набором для самопроверки. Ниже описано, что делать, если у вас появятся симптомы или положительный результат теста. Самоконтроль. Проверить наличие лихорадки или респираторных заболеваний симптомы.
Симптоматический (независимо от экспозиции)	Самоизоляция. Не выходите из дома, если не обратитесь за медицинской помощью или сдайте анализы. Избегайте других в вашем доме. Регулярно дезинфицируйте поверхности. Немедленно пройдите тестирование. Слишком раннее тестирование с быстрым антигеном может дать ложноотрицательный результат. Если экспресс-тест на антиген дал отрицательный результат, продолжайте изолировать и маскировать, а через 36–48 часов повторить тест. Учащиеся: запишитесь на прием к поставщику UHS. Вы также можете воспользоваться бесплатным набор для самопроверки. Преподаватели/персонал: запланируйте тест в UT Health Austin или в частном медицинском учреждении. Вы также можете воспользоваться бесплатным набором для самопроверки. Маска с правильно подобранной не тканевой маской.
Положительный результат на COVID-19 Тестовое задание	Изолировать в течение не менее 5 дней*** с момента появления первых симптомов И не менее 24 часов без лихорадки без применения жаропонижающих препаратов И симптомы улучшились. При отсутствии симптомов изолировать на 5 дней с даты проведения теста. Немедленно уведомите лиц, с которыми у вас был тесный контакт в течение 48 часов до получения положительного результата теста или появления симптомов, и попросите их следовать приведенным выше указаниям в отношении бессимптомных близких контактов (или симптоматических, если применимо). Образец формулировки: «Я хотел сообщить вам, что у меня положительный результат на COVID-19. Согласно CDC, вы считаетесь близким контактом. Пожалуйста, взгляните на Таблицу действий при заражении, чтобы определить, какие действия вам следует предпринять.» Маска на полные 10 дней с правильно подобранными нетканевыми масками, даже если вы закончили изоляцию через 5 дней. Особая инструкция по изоляции для действий, запрещенных маской Студенты, преподаватели и сотрудники, у которых положительный результат теста на COVID-19 и которые обязаны участвовать в мероприятиях, препятствующих эффективному ношению масок, не должны участвовать в этих мероприятиях до получения отрицательного результата экспресс-теста на антиген или в течение 10 полных дней, в зависимости от того, что наступит раньше.

ВОЗ Бессимптомное течение Тесный контакт (Без симптомов*, но имел тесный контакт** с кем-то, у кого был положительный результат на COVID-19)
ДЕЙСТВИЕ Надевайте на окружающих подходящую не тканевую маску на 10 дней. Пройдите тестирование на 5-й день после воздействия (дата воздействия — 0-й день). Воспользуйтесь бесплатным набором для самопроверки. Ниже описано, что делать, если у вас появятся симптомы или положительный результат теста. Самоконтроль. Проверить наличие лихорадки или респираторных заболеваний симптомы.

ВОЗ Симптоматическое (невзирая на экспозиции)

ДЕЙСТВИЕ Самоизоляция. Не выходите из дома, если не обратитесь за медицинской помощью или сдайте анализы. Избегайте других в вашем доме. Регулярно дезинфицируйте поверхности. Немедленно пройдите тестирование. Слишком раннее тестирование с быстрым антигеном может дать ложноотрицательный результат. Если экспресс-тест на антиген дал отрицательный результат, продолжайте изолировать и маскировать, а через 36–48 часов повторить тест. Учащиеся: запишитесь на прием к поставщику UHS. Вы также можете воспользоваться бесплатным набор для самопроверки. Преподаватели/персонал: запланируйте тест в UT Health Austin или в частном медицинском учреждении. Вы также можете воспользоваться бесплатным набором для самопроверки. Маска с правильно подобранной не тканевой маской.

ВОЗ Положительный результат COVID-19 Тест

ДЕЙСТВИЕ Изолировать в течение не менее 5 дней*** с момента появления первых симптомов И не менее 24 часов без лихорадки без применения жаропонижающих препаратов И симптомы улучшились. При отсутствии симптомов изолировать на 5 дней с даты проведения теста. Немедленно уведомите лиц, с которыми у вас был тесный контакт в течение 48 часов до получения положительного результата теста или появления симптомов, и попросите их следовать приведенным выше указаниям в отношении бессимптомных близких контактов (или симптоматических, если применимо). Образец формулировки: «Я хотел сообщить вам, что у меня положительный результат на COVID-19. Согласно CDC, вы считаетесь близким контактом. Пожалуйста, взгляните на Таблицу действий при заражении, чтобы определить, какие действия вам следует предпринять.» Маска на полные 10 дней с правильно подобранными нетканевыми масками, даже если вы закончили изоляцию через 5 дней. Особая инструкция по изоляции для действий, запрещенных маской Студенты, преподаватели и сотрудники, у которых положительный результат теста на COVID-19 и которые обязаны участвовать в мероприятиях, препятствующих эффективному ношению масок, не должны участвовать в этих мероприятиях до получения отрицательного результата экспресс-теста на антиген или в течение 10 полных дней, в зависимости от того, что наступит раньше.

*Симптомы COVID-19: Диапазон от легкой до тяжелой и может включать лихорадку (≥ 100,0°F) или озноб, кашель, одышка/затрудненное дыхание, усталость, мышцы/тело боли, головная боль, новая потеря вкуса или обоняния, боль в горле, заложенность носа или насморк, тошнота, рвота и/или диарея.

** Тесный контакт: нахождение в пределах 6 футов от инфицированного человека в общей сложности 15 минут или более в течение 24 часов, начиная с 2 дней до начала заболевания. (или, для бессимптомных пациентов, за 2 дня до теста) до момента, когда пациент изолированные.

*** Учитывая остаточный риск передачи с 5-го по 10-й день, отрицательный экспресс-тест на антиген COVID-19 утром 6-го дня может убедить вас и других в том, что вы с меньшей вероятностью заразны. Если у вас положительный результат экспресс-теста на антиген на 6-й день, продолжайте изоляцию и повторите тест на 8-й день. Если вы по-прежнему положительны на 8-й день, продолжайте изоляцию в течение 10-го дня, после чего тестирование не требуется, и вы можете прекратить изоляцию. Если экспресс-тест недоступен, подумайте о том, чтобы остаться дома по крайней мере после 7-го дня. ПЦР-тесты не следует использовать для прекращения изоляции. Если вы прекратите изоляцию до 10-го дня, UT рекомендует свести к минимуму время пребывания в общественных местах, когда это возможно. Для маскировки в этом сценарии предпочтительны правильно подобранные не тканевые маски, а также есть / пить в хорошо проветриваемых и социально удаленных местах.

Симптомы, указывающие на ухудшение течения COVID-19, обратитесь к врачу или в отделение неотложной помощи: одышка в покое, боль в груди, постоянно высокая температура, несмотря на ее снижение лекарства, спутанность сознания, головокружение, неспособность есть или пить.

Самоконтроль: люди должны следить за собой на наличие симптомов COVID-19. Если они чувствуют лихорадку или у них появляется умеренная лихорадка, кашель или затрудненное дыхание во время самоконтроля период, они должны самоизолироваться, ограничить контакты с другими людьми и обратиться за советом по телефону от поставщика медицинских услуг, чтобы определить, является ли медицинское обследование нужный.

Самоизоляция: разделяет людей с симптомами COVID-19 , с положительным тестом или без него. Оставайтесь дома и подальше от других людей, которые проживают вместе с вами, чтобы предотвратить распространение вируса.

Примечание. Руководство по тестированию основано на ограниченной информации и может изменяться по мере поступления дополнительной информации.

Загрузите PDF-файл этой страницы на английском языке.

Получить Adobe Reader

Служба здравоохранения университета стремится предоставлять высококачественную помощь пациентам всех возрастов, рас, национальностей, физических способностей или атрибутов, религий, сексуальной ориентации или гендерной идентичности/выражения.

КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ?

Поступающие студентыИностранные студентыСтуденты-медики DellLGBTQIA+ Инклюзивное здравоохранениеРодители Преподаватели и сотрудники

РАСПОЛОЖЕНИЕ

100 West Dean Keeton Student Services Building (SSB)

ПРИСОЕДИНЯЙТЕСЬ К НАМ

Служба здравоохранения университета стремится предоставлять высококачественную помощь пациентам всех возрастов, рас, национальностей, физических способностей или атрибутов, религий, сексуальной ориентации или гендерной идентичности/выражения.